EKSPONEN & LOGARITMA

A. Eksponen

1. Definisi Eksponen

Eksponen adalah bentuk perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri secara berulang-ulang. Eksponen merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika yang menggambarkan kuatnya suatu bilangan atau variabel. Eksponen dituliskan sebagai suatu angka yang mengikuti variabel yang akan dipangkatkan.

Dimana :

a = bilangan pokok , n = eksponen atau pangkat

 

2. Sifat-sifat Eksponen

Dimana : 

- a dan b = bilangan bulat positif dan pecahan

- m dan n = bilangan bulat

Contoh soal: 

a). 3² x 3³ = 3²+³ = 3⁵ =243

b). 4⁵ : 4³ = 4⁵-³= 4² =16 

c). (3²)² = 3²×² = 3⁴ = 81

d). (2 x 4)² = 2² x 3² = 4 x 14= 56

e). 65³ = 6353 =216215

f). 3 -³ = 133 = 127

g). 234 = 342 =3² = 9

h). 3⁰ = 1

      5⁰ = 1

      9⁰ = 1

3. Fungsi Eksponen

Bentuk umum fungsi eksponen:

Fungsi di atas disebut fungsi eksponen karena f(x) pada fungsi diatas merupakan suatu pangkat atau eksponen. 

Definisi fungsi eksponen

Sebuah fungsi eksponen dinyatakan dengan:

f(x) = n × aˣ

dimana a adalah bilangan pokok, a > 0, a ≠ 1, n adalah bilangan real tak nol dan x adalah sebarang bilangan real.

Fungsi eksponen dibedakan menjadi dua bentuk, yaitu pertumbuhan eksponensial dan peluruhan eksponensial.

a. Pertumbuhan Eksponen

Kurva pertumbuhan eksponen menunjukkan tingkat pertumbuhan berbanding lurus dengan besarnya nilai kuantitasnya.

Fungsi pertumbuhan eksponen dituliskan dengan:

f(x) = aˣ dengan a > 1

Contoh soal: 

1. Bakteri E.coli menyebabkan penyakit diare pada manusia. Seorang peneliti mengamati pertumbuhan 50 bakteri ini pada sepotong makanan dan menemukan bahwa bakteri ini membelah menjadi 2 setiap seperempat jam.

a. Gambarkan tabel dan grafik yang menunjukkan pertumbuhan bakteri ini dari fase 0 sampai fase 5.

b. Modelkan fungsi yang menggambarkan pertumbuhan bakteri E.coli setiap seperempat jam.

c. Prediksi berapa banyaknya bakteri setelah 3 dan 4 jam pertama.

Alternatif jawaban:

b. Fungsi tersebut digambarkan dalam fungsi f(x)=50.(2x)

c. Setelah 3 jam pertama berarti fase pertumbuhan bakteri berada pada fase ke-12 (bakteri membelah setiap 15 menit).

Banyak bakteri adalah:

f(x) = 50.(212) 

f(x) = 50 x 4.096

f(x) = 204.800

Setelah 4 jam pertama berarti fase pertumbuhan bakteri berada pada fase ke-16 (bakteri membelah setiap 15 menit).

Banyak bakteri adalah:

f(x) = 50.(216)

f(x) = 50 x 65.536

f(x) = 3.276.800

b. Peluruhan Eksponen

Fungsi eksponen tidak hanya menggambarkan pertumbuhan yang signifikan dari waktu ke waktu. Fungsi eksponen juga menggambarkan penurunan secara konsisten pada periode waktu tertentu. Ini disebut peluruhan eksponen, Perhatikan grafik fungsi peluruhan eksponen di bawah ini.

Fungsi peluruhan eksponen dapat dituliskan sebagai

f(x)=n × aˣ , dengan 0 < a < 1, n bilangan real tak nol, I adalah sebarang bilangan real.

Contoh soal:

Obat penahan rasa sakit disuntikkan kepada pasien yang mengalami luka berat akibat kecelakaan. Dosis obat yang disuntikkan adalah 50 mikrogram. Satu jam setelah penyuntikan, setengah dosis tersebut akan luruh dan dikeluarkan dari dalam tubuh. Proses tersebut akan terus berulang setiap jam

1. Berapa banyak dosis obat yang masih tertinggal di dalam tubuh pasien setelah 1

jam, 2 jam, dan 3 jam? 

2. Bagaimana model matematika yang dapat menyatakan peluruhan dosis obat tersebut?

Alternatif Penyelesaian:

1. Dosis awal = 50 mikrogram

Misalkan dosis pada z waktu dilambangkan dengan f(x)maka

f(0) = 50

f(1) = 1/2 × 50 = 25

f(2) = 1/2 × 25 = 12, 5

f(3)= 1/2 × 12 ,5=6,25

Jadi, dosis pada 1 jam pertama tersisa 25 mikrogram, pada 2 jam pertama tersisa 12,5 mikrogram, dan setelah 3 jam tersisa 6,25 mikrogram.

2. Berdasarkan bagian a, fungsi eksponen yang dapat menyatakan peluruhan dosis

obat tersebut dari dalam tubuh pasien pada jam tertentu adalah f(x) = 50 (1/2)ˣ dengan adalah waktu yang dibutuhkan obat tersebut untuk meluruh sebanyak setengah dosis dari dosis sebelumnya.